Capítulo 10 Construcción de contrastes de hipótesis
10.1 ¿Qué significa “construir” un contraste de hipótesis?
En el capítulo 9 se han presentado los contrastes de hipótesis como procedimientos operativos basados en un estadístico de contraste y una región crítica asociada a dicho estadístico. En esta sección adoptamos ese mismo punto de vista y lo llevamos un paso más allá: no nos preguntamos cómo aplicar un contraste concreto, sino cómo se construye un contraste en general y qué criterios permiten decidir cuándo un contraste es preferible a otro.
10.1.1 El contraste como regla de decisión
Sea \(X=(X_1,\dots,X_n)\) una muestra aleatoria con espacio muestral \(\mathcal{X}\) y distribución dependiente de un parámetro desconocido \(\theta\in\Theta\). Consideramos el contraste
\[ H_0:\theta\in\Theta_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\theta\in\Theta_1, \]
con \(\Theta_0\cap\Theta_1=\varnothing\).
Siguiendo la convención del capítulo 9, un contraste de hipótesis se construye especificando:
- un estadístico de contraste \(T=T(X)\),
- una región crítica para el estadístico \(C\subset\mathbb{R}\),
de modo que se decide rechazar \(H_0\) cuando
\[ T(X)\in C. \]
Este criterio define implícitamente una región crítica en el espacio muestral,
\[ \mathcal{R}=\{x\in\mathcal{X}:T(x)\in C\}, \]
pero en la práctica se trabaja casi siempre con \(T\) y \(C\), ya que simplifican la construcción y el análisis del contraste.
Desde este punto de vista, construir un contraste equivale a elegir el estadístico \(T\) y la región \(C\).
10.1.2 Nivel de significación como restricción básica
El primer requisito que debe cumplir un contraste es el control del error de tipo I, es decir, la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando esta es verdadera.
El nivel de significación del contraste se define como
\[ \alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0} \mathbb{P}_\theta\bigl(T(X)\in C\bigr). \]
Un contraste es de nivel \(\alpha\) si esta probabilidad no supera el valor prefijado \(\alpha\).
Fijar el nivel impone una restricción clara sobre la elección de \(C\), pero no determina un contraste único. Incluso fijando el modelo probabilístico, las hipótesis \(H_0\) y \(H_1\) y el nivel \(\alpha\), siguen existiendo múltiples elecciones posibles del estadístico \(T\) y de la región crítica \(C\).
10.1.3 Primer ejemplo: distintos contrastes con el mismo nivel
Supongamos que \(X_1,\dots,X_n\) es una muestra de una distribución \(N(\mu,1)\) y consideramos el contraste
\[ H_0:\mu=0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu>0. \]
Un estadístico natural es la media muestral \(\bar X\). Bajo \(H_0\) se tiene
\[ \bar X\sim N\!\left(0,\frac{1}{n}\right). \]
Un contraste habitual consiste en rechazar \(H_0\) si
\[ \bar X>c, \]
donde \(c\) se elige de modo que
\[ \mathbb{P}_{H_0}(\bar X>c)=\alpha. \]
Sin embargo, este no es el único contraste posible de nivel \(\alpha\). Por ejemplo, también podríamos definir:
- Rechazar \(H_0\) si \(X_1>k\),
- Rechazar \(H_0\) si \(0.8\,\bar X+0.2\,X_1>d\),
eligiendo \(k\) o \(d\) de forma que
\[ \mathbb{P}_{H_0}\bigl(T(X)\in C\bigr)=\alpha. \]
Todos estos contrastes controlan el error de tipo I, pero no utilizan la información de la muestra de la misma forma. El control del nivel, por sí solo, no permite decidir qué contraste es preferible.
10.1.4 Potencia como criterio de comparación
Para comparar contrastes de igual nivel se introduce la potencia.
Dado un contraste definido por \((T,C)\), su función de potencia es
\[ \beta(\theta) = \mathbb{P}_\theta\bigl(T(X)\in C\bigr), \qquad \theta\in\Theta. \]
Para \(\theta\in\Theta_0\), \(\beta(\theta)\) coincide con la probabilidad de error de tipo I. Para \(\theta\in\Theta_1\), \(\beta(\theta)\) es la probabilidad de rechazar correctamente \(H_0\).
Un contraste será tanto mejor cuanto mayor sea su potencia bajo la alternativa. En general, no existe un contraste que maximice simultáneamente la potencia para todos los valores de \(\theta\in\Theta_1\), lo que introduce un compromiso inevitable.
10.1.5 Segundo ejemplo: misma alpha, distinta potencia
En el ejemplo anterior, consideremos dos contrastes de nivel \(\alpha\):
- Contraste A: rechazar \(H_0\) si \(\bar X>c\).
- Contraste B: rechazar \(H_0\) si \(X_1>k\).
Ambos controlan el error de tipo I al nivel \(\alpha\). Sin embargo, para \(\mu>0\) se tiene, en general,
\[ \mathbb{P}_\mu(\bar X>c) > \mathbb{P}_\mu(X_1>k), \]
ya que \(\bar X\) utiliza toda la información de la muestra, mientras que \(X_1\) solo utiliza una observación.
Desde el punto de vista inferencial, el contraste A es preferible: tiene mayor potencia y discrimina mejor entre \(H_0\) y \(H_1\).
10.1.6 De contrastes razonables a contrastes óptimos
El análisis anterior conduce naturalmente a distinguir entre:
- Contrastes razonables, que controlan el nivel y presentan un buen comportamiento práctico.
- Contrastes óptimos, que maximizan la potencia según un criterio bien definido.
La noción de optimalidad es conceptualmente potente, pero muy restrictiva y solo se alcanza en situaciones ideales. La mayoría de los contrastes utilizados en la práctica no son óptimos en sentido estricto, sino soluciones que sacrifican optimalidad a cambio de generalidad o simplicidad.
Las secciones siguientes se centran en estos criterios de optimalidad y en las estrategias que se utilizan cuando no es posible alcanzarlos.
10.2 Evidencia y decisión: dos enfoques clásicos
La necesidad de comparar contrastes con el mismo nivel conduce de forma natural a preguntarse qué criterio debe utilizarse para decidir cuándo un contraste es preferible a otro. Históricamente, esta cuestión dio lugar a dos enfoques distintos para la inferencia por contrastes, asociados a :contentReferenceoaicite:0 por un lado, y a :contentReferenceoaicite:1 y :contentReferenceoaicite:2 por otro.
Aunque ambos enfoques conviven hoy en la práctica estadística, sus objetivos y su interpretación del contraste de hipótesis son conceptualmente diferentes.
10.2.1 El enfoque de Fisher: tests de significación
En el enfoque de Fisher, el contraste se concibe como un procedimiento para medir la evidencia de los datos contra la hipótesis nula.
El punto de partida es:
- una hipótesis nula \(H_0\),
- un estadístico de contraste \(T(X)\) cuya distribución bajo \(H_0\) es conocida o aproximable.
A partir del valor observado \(T(x)\), se define el p-valor como
\[ p=\mathbb{P}_{H_0}\bigl(T(X)\ge T(x)\bigr), \]
o, más generalmente, como la probabilidad bajo \(H_0\) de obtener un valor del estadístico tan extremo o más que el observado.
En este enfoque:
- no se formula explícitamente una hipótesis alternativa,
- no se habla de errores de tipo II ni de potencia,
- el p-valor se interpreta como una medida graduada de evidencia contra \(H_0\).
La decisión de rechazar o no rechazar \(H_0\) es secundaria y, en cierto sentido, convencional.
10.2.2 El enfoque de Neyman–Pearson: contraste como regla de decisión
En el enfoque de Neyman–Pearson, el contraste se plantea explícitamente como un problema de decisión bajo incertidumbre.
Se consideran dos hipótesis:
\[ H_0:\theta\in\Theta_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\theta\in\Theta_1, \]
y se construye un contraste que:
- controla el error de tipo I a un nivel prefijado \(\alpha\),
- tiene la mayor potencia posible bajo la alternativa.
En este marco:
- el contraste se define por un estadístico \(T(X)\) y una región crítica \(C\),
- el nivel \(\alpha\) es un requisito fundamental,
- la potencia \(\beta(\theta)\) es el criterio de calidad del contraste.
El objetivo no es medir evidencia, sino tomar una decisión con garantías probabilísticas bien definidas.
10.2.3 Diferencias conceptuales clave
Aunque en la práctica ambos enfoques suelen mezclarse, conviene tener presentes sus diferencias fundamentales:
- Fisher se centra en la compatibilidad de los datos con \(H_0\).
- Neyman–Pearson se centra en el comportamiento a largo plazo del procedimiento de decisión.
- El p-valor es central en Fisher, pero secundario en Neyman–Pearson.
- La potencia es central en Neyman–Pearson, pero no aparece en Fisher.
Estas diferencias no son meramente filosóficas: influyen directamente en cómo se construyen los contrastes y en qué criterios se consideran relevantes.
10.2.4 Convivencia de ambos enfoques en la práctica
En la práctica estadística actual es habitual encontrar procedimientos que combinan elementos de ambos enfoques:
- se calcula un p-valor,
- se compara con un nivel \(\alpha\) prefijado,
- se habla de potencia y tamaño muestral.
Esta convivencia no es contradictoria, pero sí puede resultar confusa si no se distinguen claramente los objetivos de cada marco teórico.
En las secciones siguientes adoptaremos principalmente el punto de vista de Neyman–Pearson, ya que permite formular de manera precisa el problema de la construcción de contrastes óptimos, sin perder de vista las limitaciones prácticas de dicho enfoque.
10.3 Tests óptimos: el lema de Neyman–Pearson
En las secciones anteriores hemos visto que, una vez fijado el nivel de significación, existen múltiples contrastes posibles para un mismo problema, y que la potencia proporciona un criterio natural para compararlos. Surge entonces una pregunta fundamental:
¿es posible construir un contraste que sea óptimo en el sentido de maximizar la potencia?
El resultado central que responde a esta cuestión es el lema de Neyman–Pearson, que establece la forma del contraste más potente cuando ambas hipótesis son simples.
10.3.1 Hipótesis simples y razón de verosimilitudes
Consideremos un modelo probabilístico dependiente de un parámetro \(\theta\) y el contraste entre dos hipótesis simples
\[ H_0:\theta=\theta_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\theta=\theta_1, \]
con \(\theta_0\neq\theta_1\).
Denotemos por \(f_0(x)\) y \(f_1(x)\) la función de densidad (o de probabilidad) de la muestra bajo \(H_0\) y \(H_1\), respectivamente. Se define la razón de verosimilitudes a favor de la alternativa como
\[ \Lambda(x)=\frac{f_1(x)}{f_0(x)}. \]
Valores grandes de \(\Lambda(x)\) indican mayor compatibilidad de los datos con \(H_1\) que con \(H_0\).
10.3.2 Enunciado del lema de Neyman–Pearson
Entre todos los contrastes de nivel \(\alpha\) para contrastar \(H_0\) frente a \(H_1\), el contraste que rechaza \(H_0\) cuando
\[ \Lambda(X)\ge c \]
para una constante \(c\) elegida de modo que
\[ \mathbb{P}_{H_0}\bigl(\Lambda(X)\ge c\bigr)=\alpha \]
es el contraste más potente, es decir, el que maximiza la potencia
\[ \beta(\theta_1)=\mathbb{P}_{\theta_1}\bigl(\Lambda(X)\ge c\bigr) \]
entre todos los contrastes de nivel \(\alpha\).
Este contraste se denomina contraste de razón de verosimilitudes y proporciona una solución óptima en el caso de hipótesis simples.
10.3.3 Ejemplo: modelo normal con varianza conocida
Sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra de una distribución \(N(\mu,\sigma^2)\), con \(\sigma^2\) conocida. Consideremos el contraste
\[ H_0:\mu=\mu_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu=\mu_1, \]
con \(\mu_1>\mu_0\).
La razón de verosimilitudes viene dada por
\[ \Lambda(x) =\exp\!\left( \frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma^2}\sum_{j=1}^n x_j -\frac{n(\mu_1^2-\mu_0^2)}{2\sigma^2} \right). \]
Dado que esta expresión es una función monótonamente creciente de \(\sum X_j\), el contraste más potente rechaza \(H_0\) cuando
\[ \sum_{j=1}^n X_j \ge c \quad \Longleftrightarrow \quad \bar X \ge c', \]
donde la constante \(c'\) se elige de modo que
\[ \mathbb{P}_{H_0}(\bar X\ge c')=\alpha. \]
Este procedimiento conduce exactamente al contraste Z unilateral habitual. El lema de Neyman–Pearson permite, en este caso, justificar su optimalidad para hipótesis simples.
10.3.4 Ejemplo: modelo de Poisson
Sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra de una distribución Poisson con parámetro \(\lambda\). Consideremos el contraste
\[ H_0:\lambda=\lambda_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\lambda=\lambda_1, \]
con \(\lambda_1>\lambda_0\).
La razón de verosimilitudes es
\[ \Lambda(x) =\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^{\sum x_j} \exp\!\left(-n(\lambda_1-\lambda_0)\right). \]
Esta expresión es monótonamente creciente en \(\sum X_j\). Por tanto, el contraste más potente rechaza \(H_0\) cuando
\[ \sum_{j=1}^n X_j \ge c, \]
donde \(c\) se elige de modo que
\[ \mathbb{P}_{H_0}\!\left(\sum_{j=1}^n X_j \ge c\right)=\alpha. \]
Este ejemplo muestra que el lema de Neyman–Pearson no se limita al modelo normal y se aplica de forma natural a modelos discretos.
10.3.5 Extensiones del lema de Neyman–Pearson
El lema de Neyman–Pearson garantiza la existencia de un contraste óptimo únicamente en el caso de hipótesis simples. Sin embargo, en determinadas situaciones puede extenderse a hipótesis compuestas.
Consideremos un contraste unilateral
\[ H_0:\theta=\theta_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\theta>\theta_0, \]
dentro de una familia exponencial de una dimensión, con densidad de la forma
\[ f(x|\theta)=\exp\!\left\{\eta(\theta)T(x)-A(\theta)+B(x)\right\}. \]
Si la razón de verosimilitudes entre \(\theta_1>\theta_0\) y \(\theta_0\) es monótona creciente en \(T(x)\), la región crítica obtenida mediante el lema de Neyman–Pearson no depende del valor concreto de \(\theta_1\).
En este caso existe un contraste uniformemente más potente (UMP) para la alternativa unilateral, que rechaza \(H_0\) cuando
\[ T(X)\ge c, \]
con \(c\) elegido de modo que el nivel sea \(\alpha\).
Este resultado explica la existencia de contrastes unilaterales simples y bien definidos en modelos como el normal, el Poisson o el binomial.
10.3.6 Límites del enfoque
Cuando:
- la familia no es exponencial,
- la alternativa es bilateral,
- o la región crítica depende del parámetro bajo \(H_1\),
no existe, en general, un contraste óptimo en el sentido de Neyman–Pearson.
En estas situaciones es necesario recurrir a procedimientos más generales, como los contrastes de razón de verosimilitudes generalizados o a aproximaciones asintóticas, que se estudiarán en la siguiente sección.
10.4 Contrastes de razón de verosimilitudes generalizados
En la sección anterior hemos visto que el lema de Neyman–Pearson permite construir contrastes óptimos en el caso de hipótesis simples, y que en algunas situaciones particulares puede extenderse a hipótesis compuestas unilaterales. Sin embargo, en muchos problemas de interés práctico estas condiciones no se cumplen.
Cuando no existe un contraste uniformemente más potente, una estrategia natural consiste en comparar qué tan bien explican los datos las hipótesis nula y alternativa mediante sus respectivas verosimilitudes. Esta idea conduce a los contrastes de razón de verosimilitudes generalizados.
10.4.1 Definición del estadístico de razón de verosimilitudes
Sea \(L(\theta)\) la función de verosimilitud del modelo y consideremos el contraste
\[ H_0:\theta\in\Theta_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\theta\in\Theta\setminus\Theta_0. \]
Se define el estadístico de razón de verosimilitudes como
\[ \Lambda(X) = \frac{\sup_{\theta\in\Theta_0} L(\theta)} {\sup_{\theta\in\Theta} L(\theta)}. \]
Este cociente compara el mejor ajuste del modelo bajo la restricción impuesta por \(H_0\) con el mejor ajuste posible sin restricciones.
Por construcción, \(0\le\Lambda(X)\le 1\). Valores cercanos a uno indican que la restricción impuesta por \(H_0\) apenas reduce la verosimilitud, mientras que valores pequeños indican que el ajuste bajo \(H_0\) es sustancialmente peor que el del modelo completo.
En consecuencia, valores pequeños de \(\Lambda(X)\) proporcionan evidencia contra la hipótesis nula.
10.4.2 Regla de decisión y aproximación asintótica
Bajo condiciones de regularidad bastante generales, y cuando el tamaño muestral es grande, se tiene que
\[ -2\log\Lambda(X) \;\xrightarrow{d}\; \chi^2_{\,\nu}, \]
donde \(\nu=\dim(\Theta_1)-\dim(\Theta_0)\) es el número de restricciones impuestas por \(H_0\).
Esto permite construir contrastes aproximados de nivel \(\alpha\) rechazando \(H_0\) cuando
\[ -2\log\Lambda(X)\ge \chi^2_{\nu,1-\alpha}. \]
10.4.3 Ejemplo: comparación de parámetros en un modelo de Poisson
Sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra de una distribución Poisson con parámetro \(\lambda\). Consideremos el contraste
\[ H_0:\lambda=\lambda_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\lambda\neq\lambda_0. \]
La función de verosimilitud es
\[ L(\lambda)=\prod_{j=1}^n \frac{e^{-\lambda}\lambda^{x_j}}{x_j!}. \]
El estimador de máxima verosimilitud bajo \(H_1\) es
\[ \hat\lambda=\bar X. \]
Bajo \(H_0\), la verosimilitud se evalúa en \(\lambda_0\). Por tanto, el estadístico de razón de verosimilitudes es
\[ \Lambda(X) = \frac{L(\lambda_0)}{L(\hat\lambda)}. \]
Un cálculo directo conduce a
\[ -2\log\Lambda(X) = 2n\left[ \bar X\log\frac{\bar X}{\lambda_0} -(\bar X-\lambda_0) \right]. \]
Bajo \(H_0\), y para tamaños muestrales grandes, este estadístico sigue aproximadamente una distribución \(\chi^2_1\), lo que permite construir un contraste bilateral para \(\lambda\).
Este ejemplo muestra cómo el contraste de razón de verosimilitudes proporciona un procedimiento sistemático incluso cuando no existe un contraste óptimo en sentido de Neyman–Pearson.
10.4.4 Ejemplo: contraste en un modelo exponencial
Sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra de una distribución exponencial con parámetro \(\lambda\). Consideremos el contraste
\[ H_0:\lambda=\lambda_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\lambda\neq\lambda_0. \]
La función de verosimilitud viene dada por
\[ L(\lambda)=\lambda^n\exp\!\left(-\lambda\sum_{j=1}^n X_j\right). \]
El estimador de máxima verosimilitud bajo \(H_1\) es
\[ \hat\lambda=\frac{1}{\bar X}. \]
El estadístico de razón de verosimilitudes es
\[ -2\log\Lambda(X) = 2n\left[ \frac{\lambda_0}{\hat\lambda} -\log\frac{\lambda_0}{\hat\lambda} -1 \right]. \]
De nuevo, bajo \(H_0\) y para tamaños muestrales grandes, este estadístico se distribuye aproximadamente como una \(\chi^2_1\).
10.4.5 Ejemplo: contraste en un modelo trinomial
Sea \((N_1,N_2,N_3)\) un vector de frecuencias con distribución multinomial (trinomial) con tamaño muestral \(n\) y probabilidades \((p_1,p_2,p_3)\), con \(p_1+p_2+p_3=1\).
Consideremos el contraste
\[ H_0:(p_1,p_2,p_3)=(p_{10},p_{20},p_{30}) \qquad \text{frente a} \qquad H_1:(p_1,p_2,p_3)\neq(p_{10},p_{20},p_{30}). \]
La verosimilitud es
\[ L(p_1,p_2,p_3) = \frac{n!}{N_1!N_2!N_3!} \prod_{i=1}^3 p_i^{N_i}. \]
Bajo \(H_1\), los estimadores de máxima verosimilitud son
\[ \hat p_i=\frac{N_i}{n}, \qquad i=1,2,3. \]
El estadístico de razón de verosimilitudes toma la forma
\[ -2\log\Lambda = 2\sum_{i=1}^3 N_i\log\frac{N_i}{n p_{i0}}. \]
Bajo \(H_0\), y para tamaños muestrales grandes, este estadístico sigue aproximadamente una distribución \(\chi^2_2\), ya que hay dos grados de libertad independientes.
Este contraste constituye la base teórica de los tests de ji-cuadrado de bondad de ajuste, que se estudiarán con más detalle en secciones posteriores.
10.4.6 Del contraste de razón de verosimilitudes al test ji-cuadrado
Una de las razones por las que el contraste de razón de verosimilitudes es tan importante es que, en modelos multinomiales, conduce directamente al test ji-cuadrado de bondad de ajuste.
Consideremos el caso trinomial. Sea \((N_1,N_2,N_3)\) un vector de frecuencias con distribución multinomial con tamaño muestral \(n\) y probabilidades \((p_1,p_2,p_3)\), con \(p_1+p_2+p_3=1\). Planteamos el contraste
\[ H_0:(p_1,p_2,p_3)=(p_{10},p_{20},p_{30}) \qquad \text{frente a} \qquad H_1:(p_1,p_2,p_3)\neq(p_{10},p_{20},p_{30}). \]
La verosimilitud es
\[ L(p_1,p_2,p_3) = \frac{n!}{N_1!N_2!N_3!} \prod_{i=1}^3 p_i^{N_i}. \]
Bajo \(H_1\), los estimadores de máxima verosimilitud son
\[ \hat p_i=\frac{N_i}{n},\qquad i=1,2,3. \]
El estadístico de razón de verosimilitudes generalizado es
\[ \Lambda = \frac{L(p_{10},p_{20},p_{30})}{L(\hat p_1,\hat p_2,\hat p_3)}. \]
Sustituyendo y simplificando, se obtiene el estadístico (a veces llamado G-test)
\[ -2\log\Lambda = 2\sum_{i=1}^3 N_i\log\frac{N_i}{n p_{i0}}. \]
Bajo condiciones generales (teorema de Wilks) y para tamaños muestrales grandes,
\[ -2\log\Lambda \;\xrightarrow{d}\; \chi^2_2, \]
ya que en el modelo completo hay \(3\) probabilidades con una restricción (\(p_1+p_2+p_3=1\)), es decir, \(\dim(\Theta)=2\), mientras que bajo \(H_0\) no hay parámetros libres.
Para conectar con la estadística clásica, definimos las frecuencias esperadas bajo \(H_0\):
\[ E_i=n p_{i0},\qquad i=1,2,3. \]
El test ji-cuadrado de Pearson utiliza el estadístico
\[ X^2=\sum_{i=1}^3 \frac{(N_i-E_i)^2}{E_i}. \]
Cuando las frecuencias esperadas \(E_i\) son suficientemente grandes, se cumple que
\[ -2\log\Lambda \approx X^2, \]
y ambos estadísticos tienen aproximadamente distribución \(\chi^2_2\) bajo \(H_0\). En particular, en este contexto los dos contrastes suelen dar conclusiones muy similares, aunque el contraste de razón de verosimilitudes es el que surge de manera natural a partir del principio de máxima verosimilitud.
Este razonamiento se extiende sin cambios esenciales al caso multinomial general con \(k\) categorías, donde el número de grados de libertad es \(k-1\).
10.5 Tests de permutaciones
En esta sección presentamos los tests de permutaciones como una alternativa general para la construcción de contrastes de hipótesis. A diferencia de los contrastes paramétricos clásicos, estos métodos no requieren especificar una distribución probabilística para los datos ni recurrir a aproximaciones asintóticas.
La validez de los tests de permutaciones se basa en una idea simple: bajo la hipótesis nula, ciertas transformaciones de los datos no alteran su distribución. En particular, si bajo \(H_0\) las observaciones son intercambiables, todas las permutaciones posibles de los datos son igualmente probables.
10.5.1 Idea básica
El esquema general de un test de permutaciones es el siguiente:
- Elegir un estadístico de contraste \(T(X)\) que mida la discrepancia entre los datos observados y lo esperado bajo \(H_0\).
- Calcular el valor observado \(T(x)\).
- Generar la distribución de \(T\) bajo \(H_0\) considerando todas (o muchas) permutaciones de los datos.
- Calcular el p-valor como la proporción de permutaciones para las que el estadístico toma un valor tan extremo o más que el observado.
Este procedimiento define un contraste exacto condicionado a los datos observados.
10.5.2 Ejemplo 1: test de permutaciones con enumeración completa
Consideremos un ejemplo muy simple en el que podemos enumerar todas las permutaciones posibles.
Observamos dos grupos con una variable cuantitativa:
- Grupo A: \(x_A=(2,4)\)
- Grupo B: \(x_B=(6,8)\)
Queremos contrastar
\[ H_0:\text{ambos grupos provienen de la misma distribución} \]
frente a la alternativa unilateral de que los valores del grupo B tienden a ser mayores.
Como estadístico de contraste utilizamos la diferencia de medias
\[ T(X)=\bar X_A-\bar X_B. \]
10.5.4 Distribución exacta por permutaciones
Bajo \(H_0\), cualquier asignación de dos observaciones al grupo A es igualmente probable. Existen exactamente \(\binom{4}{2}=6\) permutaciones posibles.
x <- c(xA, xB)
idx <- combn(1:4, 2)
T_perm <- apply(idx, 2, function(i) {
mean(x[i]) - mean(x[-i])
})
T_perm## [1] -4 -2 0 0 2 410.5.5 Ejemplo 2: test de permutaciones mediante simulación
En problemas más realistas, el número de permutaciones posibles es demasiado grande como para enumerarlas todas. En estos casos se utiliza una aproximación por simulación.
Consideremos dos grupos con tamaños moderados:
Queremos contrastar nuevamente la igualdad de distribuciones utilizando un test de permutaciones basado en la diferencia de medias.
10.5.5.1 Implementación con el paquete coin
library(coin)
group <- factor(rep(c("A", "B"), each = 20))
x <- c(xA, xB)
perm_test <- oneway_test(
x ~ group,
distribution = approximate(B = 10000)
)
perm_test##
## Approximative Two-Sample Fisher-Pitman Permutation Test
##
## data: x by group (A, B)
## Z = -1.7268, p-value = 0.0795
## alternative hypothesis: true mu is not equal to 010.5.5.2 Comparación con el test t clásico
##
## Two Sample t-test
##
## data: xA and xB
## t = -1.7737, df = 38, p-value = 0.08413
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -1.08591100 0.07167293
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 0.1416238 0.648742810.5.6 Comentario final
Los tests de permutaciones ilustran una forma alternativa de construir contrastes de hipótesis:
- el nivel se controla sin recurrir a distribuciones teóricas,
- la región crítica se define a partir de la distribución inducida por las permutaciones,
- y la validez del contraste descansa en una hipótesis de intercambio, no en un modelo paramétrico.
Estos métodos cierran de forma natural el recorrido de este capítulo, mostrando que la construcción de contrastes puede basarse en principios distintos pero complementarios.