Capítulo 1 Probabilidad y Experimentos aleatorios

1.1 Introducción

1.1.1 Fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios

Supongamos que disponemos de un dado regular con todas las caras pintadas de blanco y con un número, que irá de 1 a \(6 \sin\) repetir ninguno, en cada una de las seis caras.

Definamos los dos experimentos siguientes: Experimento 1: Tirar el dado y anotar el color de la cara resultante. Experimento 2: Tirar el dado y anotar el número de la cara resultante. ¿Qué diferencia fundamental observamos entre ambos experimentos? Muy simple! En el experimento 1, el resultado es obvio: saldrá una cara de color blanco. Es decir, es posible predecir el resultado. Se trata de un experimento o fenómeno determinista.

En cambio, en el experimento 2 no podemos predecir cuál será el valor resultante. El resultado puede ser : \(1,2,3,4,5\) o 6 . Se trata de un experimento o fenómeno aleatorio.

El conjunto de resultados se anotará con el símbolo: \(\Omega\). En este caso, \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). En los fenómenos aleatorios, al hacer muchas veces la experiencia, la frecuencia relativa de cualquier elemento del conjunto de resultados debe aproximarse siempre hacia un mismo valor.

1.1.2 Sucesos

Supongamos que se ejecuta un experimento aleatorio. Se nos puede ocurrir emitir un enunciado que, una vez realizada la experiencia, pueda decirse si se ha verificado o no se ha verificado. A dichos enunciados los denominamos sucesos.

Por otro lado, los sucesos van asociados a subconjuntos del conjunto de resultados. Cada suceso se corresponderá exactamente con uno, y sólo con un, subconjunto del conjunto de resultados.

Veamos un ejemplo: Experimento: Tirar un dado regular. Conjunto de resultados : \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) Enunciado: Obtener múltiplo de 3. Subconjunto al que se asocia el enunciado: \(A=\{3,6\}\) Nos referiremos habitualmente al suceso A.

1.1.2.1 Sucesos y conjuntos

Al conjunto de resultados \(\Omega\), se le denomina suceso seguro. Al conjunto Ø ( conjunto sin elementos), se le denomina suceso imposible. Al complementario del conjunto \(\mathrm{A}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{c}}\right)\), se le denomina suceso contrario o complementario de \(A\). A partir de dos sucesos A y B, podemos formar los sucesos siguientes:

• A intersección B, que anotaremos como:

\[ A \cap B \]

• A unión B, que anotaremos como:

\[ A \cup B \]

A intersección B, significa que se verifican a la vez A y B. A unión B, significa que se verifica \(A\) o \(B\) ( se pueden verificar a la vez).

1.2 Función de probabilidad

Lógicamente, una vez tenemos un suceso, nos preocupa saber si hay muchas o pocas posibilidades de que al realizar la experiencia se haya verificado.

Por lo tanto, sería interesante el tener alguna función que midiera el grado de confianza a depositar en que se verifique el suceso.

A esta función la denominaremos función de probabilidad. La función de probabilidad será, pues, una aplicación entre el conjunto de resultados y el conjunto de números reales, que asignará a cada suceso la probabilidad de que se verifique.

La notación: \(\mathrm{P}(\mathrm{A})\) significará: probabilidad de que se verifique el suceso A . Pero claro, de funciones de probabilidad asociadas a priori a una experiencia aleatoria podrían haber muchas.

Lo que se hace para decir qué es y qué no es una función de probabilidad es construir una serie de propiedades (denominadas axiomas) que se exigirán a una función para poder ser catalogada como función de probabilidad.

Y, ¿cuáles son estos axiomas? Pues los siguientes: Sea S el conjunto de sucesos.

• Axioma 1: Para cualquier suceso A, la probabilidad debe ser mayor o igual que 0.

• Axioma 2: La probabilidad del suceso seguro debe ser 1: \(\mathrm{P}(\Omega)=1\)

• Axioma 3: Para sucesos \(\mathrm{A}_{\mathrm{i}}\), de modo que cada par de sucesos no tengan ningún resultado común, se verifica que:

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_{i}\right) \]

De este modo, pueden haber muchas funciones de probabilidad que se podrían asociar con la experiencia.

El problema pasa entonces al investigador para decidir cual o cuales son las funciones de probabilidad más razonables asociadas con la experiencia que está manejando.

1.2.1 ¿Diferentes funciones de probabilidad para una misma experiencia aleatoria?

Supongamos la experiencia de tirar un dado regular. A todo el mundo se le ocurriría pensar que la función de probabilidad se obtiene de contar el número de resultados que contiene el suceso dividido por 6 , que es el número total de resultados posibles. Así pues, la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 sería igual a \(2 / 6\), la probabilidad de obtener el número 2 sería \(1 / 6\) i la probabilidad de obtener un número par sería 3/6. Es decir, parece inmediato construir la función de probabilidad que, además, parece única. A nadie se le ocurre decir, por ejemplo, que la probabilidad de obtener un número par es \(5 / 6\) !

En este caso, todo ha sido muy fácil. Hemos visto que existe una única función de probabilidad que encaje de forma lógica con la experiencia y, además, ha sido muy sencillo encontrarla.

Pero esto, por desgracia, no siempre es así. En muchísimas ocasiones resulta muy complejo el decidir cuál es la función de probabilidad.

En el tema de variables aleatorias y de función de distribución se explica el problema de la modelización de muchas situaciones reales.

1.3 ¿Cómo se calculan las probabilidades?

No siempre es fácil conocer los valores de la función de probabilidad de todos los sucesos. Sin embargo, muchas veces se pueden conocer las probabilidades de algunos de estos sucesos. Con la ayuda de ciertas propiedades que se deducen de manera inmediata a partir de la axiomática es posible calcular las probabilidades de más sucesos.

Por otro lado, en caso de que el número de resultados sea finito y de que todos los resultados tengan las mismas posibilidades de verificarse, la probabilidad de un suceso cualquiera se puede calcular a partir de la regla de Laplace:

Si A es un suceso :

\[ \text { Probabilidad }(A)=\frac{\text { Número de casos favorables }}{\text { Número de casos posibles }} \]

donde: Número de casos favorables \(=\) Número de resultados contenidos en \(\mathrm{A}(\) cardinal de A\()\) Número de casos posibles \(=\) Número total de resultados posibles (cardinal del conjunto total de resultados)

En este caso, el contar número de resultados, ya sean favorables o posibles, debe hacerse por medio de la combinatoria.

Veamos con unos ejemplos muy sencillos y visuales cómo se obtienen y qué representan los casos posibles y los casos favorables.

También es posible obtener de manera aproximada la probabilidad de un suceso si se puede repetir muchas veces la experiencia: la probabilidad del suceso sería el valor al que tendería la frecuencia relativa del suceso. Podéis consultar más detalles acerca de esta aproximación.

En este caso, la cuestión estriba en poder hacer muchas veces la experiencia en condiciones independientes.

1.4 Sucesos elementales y sucesos observables

En el contexto de la probabilidad, es fundamental diferenciar entre los sucesos elementales y los sucesos observables.

Los sucesos elementales son los resultados individuales que pueden ocurrir al realizar un experimento aleatorio, es decir, cada uno de los elementos que conforman el conjunto de resultados \(\Omega\). En nuestro ejemplo del dado, los sucesos elementales son los números \(1, 2, 3, 4, 5\) y \(6\).

Sin embargo, no todos los sucesos elementales son necesariamente observables. Un suceso observable es un subconjunto de estos sucesos elementales que permite formular afirmaciones verificables sobre el resultado del experimento.

Ejemplo

1. Podemos imaginar un dado en el que pintamos de blanco las caras pares y de negro las impares. En este caso los sucesos elementales serían los habituales 1, 2, 3,…6. Sin embargo tan solo “Par” (“blanco”) o impar (“negro”) se pueden observar.

2. Si repintamos el dado de forma que las caras 1 y 2 esten blancas, las 3 y 4, azules y las 5 y 6 rojas podremos observar el suceso “Sale 1 o 2 (=Sale blanco)” o “sale blanco o azul”, pero no el suceso “sale par” dado que cada color contiene un número par y uno impar

Para formalizar estos conceptos, definimos el espacio de probabilizable como el par de conjuntos formados por: \((\Omega, \mathcal{A})\)

• \(\Omega\) es el conjunto de todos los resultados posibles (el conjunto de resultados o sucesos elementales).
• \(\mathcal{A}\) es el conjunto de todos los sucesos observables, que vienen definidos por el nivel de observación del experimento.

1.5 Propiedades inmediatas de la probabilidad

Veremos a continuación una serie de propiedades que se deducen de manera inmediata de la axiomática de la probabilidad.

1.5.1 Succeso imposible

El suceso imposible se identifica con el conjunto vacío, puesto que no hay ningún resultado asociado a él. La probabilidad del suceso imposible es:

\[ P(\varnothing)=0 \]

1.5.2 Suceso implicado

Decimos que un suceso, B, esta implicado por otro suceso A, si siempre que se presenta A, también lo hace B. Por ejemplo, si al tirar un dado se obtiene un dos (suceso A), ello implica que ha salido un número par (suceso B). En terminos de conjuntos, A es un suceso que está contenido en B (todos los resultados de A también pertenecen a B ), por lo que:

\[ \mathrm{P}(\mathrm{A}) \leq \mathrm{P}(\mathrm{B}) \]

1.5.3 Complementario de un suceso

Sea \(A^{\mathrm{c}}\) el suceso formado por todos los elementos de \(\Omega\) que no pertenecen a A (Suceso complementario de A). La probabilidad de dicho suceso es igual a:

\[ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{c}}\right)=1-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \]

1.5.4 Ocurrencia de algun suceso

La probabilidad de la unión de dos sucesos A y B es igual a:

\[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \]

1.5.5 Probabilidad de que ocurra algun suceso

Si tenemos una colección de \(k\) sucesos, la probabilidad de la unión de dichos sucesos será:

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{k} P\left(A_{i}\right)-\sum_{i<j} P\left(A_{i} \cap A_{j}\right)+\sum P\left(A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}\right)+\ldots+(-1)^{k+1} \cdot P\left(A_{1} \cap . . \cap A_{k}\right) \]

1.5.6 Probabilidad de que ocurran dos (o más) sucesos a la vez

No existe una expresión cerrada única para la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a la vez, pues esto depende de si los sucesos que consideramos son dependientes o independientes, conceptos éstos, que introduciremos en la próxima sección.

Lo que si que existe es una cota para dicha probabilidad, es decir, podemos decir que valor alcanza dicha probabilidad, como mínimo.

\[ P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}\right) \geq 1-\sum_{i=1}^{n} P\left(\bar{A}_{i}\right) \]

1.6 Espacios de probabilidad

Para concluir esta introducción introduciremos los espacio de probabilidad que, extienden los espacios probabilizables definidos en la sección anterior

La terna \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) donde:

• \(Omega\) es el conjunto de todos los resultados posibles (el conjunto de resultados o sucesos elementales),
• \(\mathcal{A}\) es el conjunto de todos los sucesos observables, que vienen definidos por el nivel de observación del experimento y
• \(P\) es una función de probabilidad, que asigna a cada suceso observable \(A \in \mathcal{A}\) un número real \(P(A)\) que representa la probabilidad de que ocurra dicho suceso

se conoce como espacio de probabilidad.

Es importante destacar que la probabilidad se calcula exclusivamente para los sucesos observables, lo que garantiza que la medida sea coherente y verificada a través de experimentos.

Los espacios de probabilidad proporcionan una estructura fundamental para analizar y medir las incertidumbres asociadas a los fenómenos aleatorios, facilitando el estudio de sus propiedades, la construcción, sobre ellos de diversos conceptos fundamentales como el de variables aleatorias, y, en general, la aplicación de teorías de la probabilidad a diversas áreas de conocimiento.

1.7 Probabilidad condicionada

Imaginemos que en la experiencia de tirar un dado regular supiéramos de antemano que se ha obtenido un número par. Es decir, que se ha verificado el suceso: \(\{B = \mbox{número par}\}\)“.

Pregunta: ¿Cuál es ahora la probabilidad de que se verifique el suceso mayor o igual a cuatro? Lógicamente, el resultado sería : \(2 / 3\). Por lo tanto, la probabilidad del suceso \(\mathrm{A}=\) mayor o igual a cuatro se ha modificado. Evidentemente, ha pasado de ser \(1 / 2\) ( cuando no tenemos ninguna información previa) a ser \(2 / 3\) (cuando sabemos que se ha verificado el suceso B). ¿Cómo podemos anotar esta última probabilidad \((2 / 3)\) ? Muy sencillo. Anotaremos \(\mathrm{P}(\mathrm{A} / \mathrm{B})\), que se lee como probabilidad de A condicionada a B . Así, en este ejemplo,

\[ \begin{gathered} \mathrm{P}(\mathrm{A} / \mathrm{B})=2 / 3 \\ \mathrm{P}(\mathrm{A})=1 / 2 \end{gathered} \]

En términos generales, estamos en condiciones de poder definir la probabilidad condicionada, y lo hacemos como:

\[ P(A / B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Podemos ahora visualizar de una manera práctica y divertida el ejemplo anterior. Siguiendo con la notación utilizada, el suceso A será lo que denominamos suceso de obtención, mientras que el suceso B será lo que denominamos suceso condicionado. La pantalla nos proporcionará los casos posibles para el condicionante elegido y los casos favorables, calculando mediante la regla de Laplace la probabilidad del suceso.

1. Elegid suceso a estudiar. Desplazad, si procede, las barras de puntos.
2. Elegir suceso condicionante. Desplazad, si procede, las barras de puntos.
3. Comprobad los sucesos posibles y los favorables.

La probabilidad condicionada se comporta, entonces, como una función de probabilidad. Es decir, verifica los tres axiomas siguientes:

Axioma 1:

\[ \mathrm{P}(\mathrm{A} / \mathrm{B}) \geq 0 \]

Axioma 2:

\[ P(\Omega / B)=1 \]

Axioma 3:

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} / B\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_{i} / B\right) \]

para sucesos \(\mathrm{A}_{\mathrm{i}}\) con intersección vacía dos a dos.

1.7.1 Sucesos dependientes y sucesos independientes

Sean A y B dos sucesos con probabilidad mayor que 0 . Evidentemente, si

\[ \mathrm{P}(\mathrm{A} / \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \]

B no ha modificado la probabilidad de que suceda A. En este caso diremos que son sucesos independientes.

En caso contrario diremos que son sucesos dependientes. En el ejemplo del apartado anterior, se observa que los sucesos son dependientes puesto que las probabilidades anteriores no coinciden.

Se verifica que independencia de los sucesos A y B es equivalente a decir que la probabilidad de la intersección es igual a producto de probabilidades de los dos sucesos.

Se verifica también que si A y B son independientes: a) El complementario del suceso A y el suceso B son independientes. b) El complementario del suceso A y el complementario del suceso B son independientes. c) El complementario del suceso B y el suceso A son independientes.

1.7.2 Incompatibilidad e independencia

Dos sucesos con intersección vacía se denominan sucesos incompatibles. Esto, ¿qué implica? Pues, que si se verifica uno seguro que no se verifica el otro, ya que no tienen resultados en común. Por lo tanto es el caso extremo de dependencia. Obtenemos en este caso que:

\[ \mathrm{P}(\mathrm{A} / \mathrm{B})=0 \]

y, en consecuencia, si \(\mathrm{P}(\mathrm{A})\) y \(\mathrm{P}(\mathrm{B})\) son diferentes de cero, la probabilidad condicionada anterior es diferente de \(\mathrm{P}(\mathrm{A})\), y así se deduce la dependencia.

La única posibilidad de que se dé incompatibilidad e independencia a la vez, es que alguno de los dos sucesos tenga probabilidad igual a cero.

1.8 Dos Teoremas importantes

1.8.1 Teorema de las probabilidades totales

Sea \(\Omega\) el conjunto total formado por una partición (colección de sucesos con intersección vacía dos a dos):

\[ \Omega=H_{1} \cup \ldots \ldots \cup H_{n} \]

La probabilidad de cualquier otro suceso A , se puede obtener a partir de las probabilidades de los sucesos de la partición y de las probabilidades de A condicionado a los sucesos de la partición, de la manera siguiente:

\[ P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A / H_{i}\right) \cdot P\left(H_{i}\right) \]

Esto es lo que se conoce como teorema de las probabilidades totales.

1.8.2 Teorema de Bayes

Es una consecuencia del teorema de las probabilidades totales. Sea \(\Omega\) el conjunto total formado por una partición (colección de sucesos con intersección vacía dos a dos).

\[ \Omega=H_{1} \cup \ldots \ldots \cup H_{n} \]

Ahora el interés se centrará en la obtención de la probabilidad de cualquier suceso de la partición condicionada a un suceso A cualquiera.

El resultado será:

\[ P\left(\mathrm{H}_{\mathrm{i}} / \mathrm{A}\right)=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A} / \mathrm{H}_{\mathrm{i}}\right) \cdot \mathrm{P}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{i}}\right)}{\sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}\left(\mathrm{A} / \mathrm{H}_{\mathrm{i}}\right) \cdot \mathrm{P}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{i}}\right)} \]

Esto es conocido como teorema o regla de Bayes.

1.9 Introducción a los experimentos múltiples

Supongamos que tiramos a la vez un dado y una moneda. Tenemos una experiencia múltiple, puesto que la experiencia que se realiza es la composición de dos experiencias (experiencia \(1=\) tirar un dado regular; experiencia 2 = tirar una moneda regular). ¿Cuál es en este caso el conjunto de resultados? Si \(\Omega_{1}\) es el conjunto de resultados asociado con la experiencia tirar un dado y \(\Omega_{2}\) es el conjunto de resultados asociado con la experiencia tirar una moneda, el conjunto de resultados asociado a la experiencia múltiple será \(\Omega_{1} \times \Omega_{2}\).

Es decir, \(\Omega_{1}=\{1,2,3,4,5,6\}\) \(\Omega_{2}=\{\) cara, cruz \(\}\) \(\Omega_{1} \times \Omega_{2}=\{(1\), cara \(),(2\), cara \(),(3\), cara \(),(4\), cara \(),(5\), cara \(),(6\), cara \(),(1\), cruz ), ( 2 , cruz ), ( 3, cruz ), (4, cruz \(),(5\), cruz \(),(6\), cruz \()\}\)

Si \(\mathrm{P}_{1}\) y \(\mathrm{P}_{2}\) son, respectivamente, las funciones de probabilidad asociadas a las experiencias 1 y 2 , ¿es posible calcular probabilidades de la experiencia múltiple a partir de \(\mathrm{P}_{1}\) y \(\mathrm{P}_{2}\) ?

Efectivamente! Pero hemos de distinguir dos situaciones:

• Experiencias independientes: cuando el resultado de una no influya en la otra.
• Experiencias dependientes: cuando el resultado de una influya en la otra.

En nuestro caso se trata de experiencias independientes, puesto que el resultado que se obtenga al tirar el dado no influye sobre el resultado que se obtenga al lanzar la moneda y al revés. ¿Como se calculan, pues, las probabilidades de la experiencia múltiple? Sea un suceso de la experiencia múltiple: A x B.

• Caso de experiencias independientes:

\[ \mathrm{P}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=\mathrm{P}_{1}(\mathrm{~A}) \times \mathrm{P}_{2}(\mathrm{~B}) \]

• Caso de experiencias dependientes:

\[ \mathrm{P}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=\mathrm{P}_{1}(\mathrm{~A}) \times \mathrm{P}_{2}(\mathrm{~B} / \mathrm{A}) \]

Entendemos que existe una \(\mathrm{P}_{2}\) para cada suceso A .

Esto que hemos explicado se puede, lógicamente, generalizar a una experiencia múltiple formada por \(n\) experiencias.

1.10 Combinatoria

Veamos algunas fórmulas simples que se utilizan en combinatoria y que nos pueden ayudar a calcular el número de casos posibles o el número de casos favorables.

1.10.1 Permutaciones

Sea un conjunto de \(n\) elementos. A las ordenaciones que se pueden hacer con estos \(n\) elementos \(\sin\) repetir ningún elemento y utilizándolos todos se las denomina permutaciones. El número de permutaciones que se pueden realizar coincide con el factorial de \(n\), y su cálculo es:

\[ n!=n \cdot(n-1) \cdot(n-2) \ldots \ldots .2 \cdot 1 \]

Ejemplo:

¿De cuántas maneras distintas podemos alinear a seis personas en una fila?

Respuesta

De \(6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720\) maneras (permutaciones de 6 elementos).

1.10.2 Variaciones

Sea un conjunto de \(n\) elementos. Supongamos que deseamos ordenar \(r\) elementos de entre los \(n\). A cada una de estas ordenaciones la denominamos variación. El número de variaciones que se pueden hacer de los \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) es:

\[ V_{n}^{r}=n \cdot(n-1) \ldots \ldots(n-r+1) \]

Ejemplo

En una carrera de velocidad compiten diez atletas. ¿De cuántas maneras distintas podría estar formado el podio? (el podio lo forman el primer, el segundo y el tercer clasificado)

Respuesta

Cada podio posible es una variación de diez elementos tomado de tres en tres. Por tanto, el número posible de podios es:

\[ \mathrm{V}_{10}^{3}=10.9 .8=720 \]

1.10.3 Variaciones con repetición

Sea un conjunto de \(n\) elementos. Supongamos que se trata de ordenar \(r\) elementos que pueden estar repetidos. Cada ordenación es una variación con repetición. El número de variaciones con repetición para un conjunto de \(n\) tomados de \(r\) en \(r\) es :

\[ \mathrm{RV}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{r}}=\mathrm{n}^{\mathrm{r}} \]

Ejemplo

En una urna tenemos cinco bolas numeradas del 1 al 5 . Se extraen tres bolas sucesivamente con reposición (devolviendo cada vez la bola a la urna). ¿Cuántos resultados distintos es posible obtener?

Respuesta: Se trata de variaciones con repetición de un conjunto de cinco bolas tomadas de tres en tres. En total tendremos:

\[ \mathrm{RV}_{5}^{3}=5^{3}=125 \]

1.10.4 Combinaciones

Cuando se trata de contar el número de subconjuntos de \(x\) elementos en un conjunto de \(n\) elementos tenemos lo que se denomina combinaciones de x elementos en un conjunto de n . El cálculo del contaje se hace mediante el número combinatorio, de la manera siguiente:

\[ \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{x}}=\binom{n}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{n!}}{\mathrm{x}!.(\mathrm{n}-\mathrm{x})!} \]

Ejemplo

¿De cuántas maneras podemos elegir, en la urna anterior (recordemos que había cinco bolas), tres bolas en una única extracción?

Respuesta

Serán combinaciones de cinco elementos tomados de tres en tres, por tanto, tendremos:

\[ \mathrm{C}_{5}^{3}=\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10 \]

1.10.5 Permutaciones con repetición

Sea un conjunto de \(n\) elementos, de entre los cuales tenemos \(a\) elementos indistinguibles entre sí, \(b\) elementos indistinguibles entre sí, \(c\) elementos indistinguibles entre sí, etc. Cada ordenación de estos elementos se denominará permutación con repetición. El número de permutaciones con repetición es:

\[ R P{ }_{n}^{a, b, c, \ldots}=\frac{n!}{a!b!c!\ldots} \]

Ejemplo

¿Cuantas palabras con sentido o sin él pueden formarse con las letras PATATA?

Respuesta: Tenemos tres veces la letra A, dos veces la T y una vez la P. Por tanto, serán:

\[ \mathrm{RP}_{6}^{3,2,1}=\frac{6!}{3!2!!}=60 \]

1.11 Frecuencia relativa y probabilidad

La definición moderna de probabilidad basada en la axiomática de Kolmogorov (presentada anteriormente) es relativamente reciente. Históricamente hubo otros intentos previos de definir el escurridizo concepto de probabilidad, descartados por diferentes razones. Sin embargo conviene destacar aquí algunas ideas que aparecen en la antigua definición basada en la frecuencia relativa, ya que permiten intuir algunas profundas propiedades de la probabilidad.

Recordemos antes que si en un experimento que se ha repetido \(n\) veces un determinado suceso A se ha observado en \(k\) de estas repeticiones, la frecuencia relativa \(\mathrm{f}_{\mathrm{r}}\) del suceso A es:

\[ \mathrm{f}_{\mathrm{r}}=k / n \]

El interés por la frecuencia relativa y su relación con el concepto de probabilidad aparece a lo largo de los siglos XVIII a XX al observar el comportamiento de numerosas repeticiones de experimentos reales.

A título de ejemplo de un experimento de este tipo, supongamos que se dispone de una moneda ideal perfectamente equilibrada. Aplicando directamente la regla de Laplace resulta claro que el suceso \(\mathrm{A}=\) obtener cara tiene probabilidad:

\[ \mathrm{p}(\mathrm{A})=1 / 2=0,5 \] ### Ilustración por simulación

En el enlace siguiente se accede a una simulación por ordenador de la ley de los grandes números en la que se basa precisamente la idea de asimilar “a la larga” (es decir a medida que crece el número de repeticiones) frecuencia relativa y probabilidad.

Enlace a la simulación

En la simulación podéis definir:

• La verdadera probabilidad” de que al tirar la moneda salga cara,
• EL número de tiradas.

Como podréis comprobar, sea cual sea la probabilidad (una moneda justa es un 0.5) a la larga la frecuencia relativa converge hacia el valor que habéis fijado.

Eso sí, observad lo que sucede si fijais probabilidades cercanas a 0.5 o muy alejadas de ell.

¿La idea de lo que sucede a la larga es la misma? ¿En que encontráis diferencias? Aunque no deje de llamar la atención el carácter errático del comportamiento de \(\mathrm{f}_{\mathrm{r}}\) entre los valores 0 y 1, estaréis seguramente de acuerdo que a mayor número de lanzamientos \(n\), más improbable es que \(f_{r}\) se aleje mucho de \(p(A)\).

La teoría moderna de la probabilidad enlaza formalmente estas ideas con el estudio de las leyes de los grandes números, que se discutiran con más detalle en el capítulo dedicado a las “Grandes muestras”.

1.12 Caso de Estudio: Eficacia de una prueba diagnóstica

Para decidir la presencia(E) o ausencia (A) de sordera profunda a la edad de seis meses, se está ensayando una batería de tests.

Considerando el caso en que la prueba pueda dar positivo \((+)\) o negativo \((-)\), hay que tener en cuenta que en individuos con dicha sordera la prueba dará a veces positivo y a veces negativo, e igual ocurrirá con individuos que no presentan la sordera.

En este contexto todas las probabilidades pueden ser interpretadas en terminos de resultados positivos o neghativos, correctamente o no y cada una ha recibe un nombre que la ha popularizado dentro de la literatura médica:

Así tenemos:

• \(\mathrm{P}(+/ \mathrm{E})\)

  • Probabilidad de test positivo en individuos que padecen la sordera.
  • Este valor se conoce como sensibilidad del test.

• \(\mathrm{P}(+/ \mathrm{A})=\)

  • Probabilidad de test positivo en individuos que no padecen la sordera.
  • Este valor se conoce como probabilidad de falso-positivo.

• \(\mathrm{P}(-/ \mathrm{E})=\)

  • Probabilidad de test negativo en individuos que padecen la sordera
  • Este valor se conoce como probabilidad de falso-negativo.

• \(P(-/ A)=\)

  • Probabilidad de test negativo en individuos que no padecen sordera.
  • Este valor se conoce como especificidad del test.

• Finalmente a la probabilidad, \(\mathrm{P}(\mathrm{E})\), de presentar la enfermedad se le conoce como prevalencia de la enfermedad.

Lógicamente, en un “buen test” nos interesa que la sensibilidad y la especificidad sean elevadas, mientras que los falsos-positivos y falsos-negativos sean valores bajos.

Además no debemos olvidar que, el interés de aplicar el test, consiste en que sirva de elemento predictivo para diagnosticar la sordera.

Por lo tanto, interesa que las probabilidades:

• \(\mathrm{P}(\mathrm{E} /+)=\) Probabilidad de padecer sordera si el test da positivo

• \(\mathrm{P}(\mathrm{A} /-)=\) Probabilidad de no padecer sordera si el test da negativo

sean realmente altas.

A las probabilidades anteriores se las conoce como: valores predictivos del test, en concreto:

• \(\mathrm{P}(\mathrm{E} /+)=\) es el valor predictivo positivo y

• \(\mathrm{P}(\mathrm{A} /-)=\) es el valor predictivo negativo

1.12.1 Aplicación del Teorema de Bayes

Estamos en una situación en que, a partir de conocimiento de unas probabilidades, nos interesa calcular otras, para lo que utilizaremos el teorema de Bayes.

Habitualmente, a partir de estudios epidemiológicos y muestras experimentales, se estiman:

• La prevalencia

• La sensibilidad del test

• La especificidad del test

• La probabilidad de falso positivo

• La probabilidad de falso negativo

¿Cómo se obtiene entonces el valor predictivo del test?

Veamos como aplicar el teorema de Bayes a este problema:

Si dividimos a la población global (en este caso, el conjunto de todos los bebés de seis meses) entre los que padecen sordera y los que no la padecen, aplicando el teorema de Bayes resulta que:

\[ \mathrm{P}(\mathrm{E} /+)=(\mathrm{P}(+/ \mathrm{E}) \times \mathrm{P}(\mathrm{E})) /(\mathrm{P}(+/ \mathrm{E}) \times \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(+/ \mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{~A})) \] y

\[ \mathrm{P}(\mathrm{~A} /-)=(\mathrm{P}(-/ \mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{~A})) /(\mathrm{P}(-/ \mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{~A})+\mathrm{P}(-/ \mathrm{E}) \times \mathrm{P}(\mathrm{E})) \]

1.12.2 Ejemplo numérico

Supongamos que en el ejemplo de la sordera, se sabe que:

• Prevalencia \(=0,003\), Es decir, que un tres por mil padece sordera profunda a esta edad.

• Sensibilidad \(=0,98\)

• Especificidad \(=0,95\)

• Probabilidad de falso positivo \(=0,05\)

• Probabilidad de falso negativo \(=0,02\)

¿Cuál es el valor predictivo del test?

\[ \begin{aligned} & \mathrm{P}(\mathrm{E} /+)=(0,98 \times 0,003) /(0,98 \times 0,003+0,05 \times 0,997)=0,00294 / 0,05279=0,055692 \\ & \mathrm{P}(\mathrm{~A} /-)=(0,95 \times 0,997) /(0,95 \times 0,997+0,02 \times 0,003)=0,94715 / 0,94721=0,999936 \end{aligned} \]

En conclusión, Podemos afirmar que se trata de un test muy válido para decidir que no hay sordera en caso de que el resultado del test sea negativo.

Sin embargo, el valor tan bajo de \(\mathrm{P}(\mathrm{E} /+)\) no permite poder considerar al test como un predictor válido para diagnosticar la sordera.

Obsérvese que:

• Probabilidad de falso positivo \(=1-\) especificidad

• Probabilidad de falso negativo \(=1-\) sensibilidad