9 Bootstrap y tests de permutación

9.1 Ejercicio 1 (Hesterberg et alt1., 18.4)

Las vidas útiles de máquinas antes de una avería y los tiempos de supervivencia de pacientes con cáncer tras un tratamiento suelen estar fuertemente sesgados a la derecha. A continuación se muestran los tiempos de supervivencia (en días) de 72 cobayas en un ensayo médico:

43 45 53 56 56 57 58 66 67 73
74 79 80 80 81 81 81 82 83 83
84 88 89 91 91 92 92 97 99 99
100 100 101 102 102 102 103 104 107 108
109 113 114 118 121 123 126 128 137 138
139 144 145 147 156 162 174 178 179 184
191 198 211 214 243 249 329 380 403 511
522 598

  1. Realiza un histograma de los tiempos de supervivencia. La distribución está fuertemente sesgada.

  2. El teorema central del límite establece que la distribución muestral de la media muestral \(\bar{x}\) se aproxima a una Normal cuando el tamaño muestral aumenta. ¿Es la distribución muestral aproximadamente Normal para \(n=72\)?

Para comprobarlo, aplica bootstrap a estos datos e inspecciona la distribución bootstrap de la media (utiliza un gráfico cuantílico Normal). ¿En qué difiere la distribución respecto a la Normalidad? ¿La distribución bootstrap está más o menos sesgada que la distribución de los datos?

9.2 Ejercicio 2 (Hesterberg et al., 18.21)

Una empresa vende ropa y equipamiento deportivo por Internet. Para diseñar la ropa, se recopilan datos sobre las características físicas de los clientes. A continuación se muestran los pesos en kilogramos de una muestra de 25 corredores varones. Supón que estos corredores constituyen una muestra aleatoria de tus potenciales clientes masculinos.

67.8 61.9 63.0 53.1 62.3 59.7 55.4 58.9 60.9
69.2 63.7 68.3 92.3 64.7 65.6 56.0 57.8 66.0
62.9 53.6 65.0 55.8 60.4 69.3 61.7

Dado que los productos están orientados al “varón medio”, estás interesado en ver cuánto varían los sujetos de la muestra respecto al peso medio.

  1. Calcula la desviación estándar muestral \(s\) para estos pesos.

  2. No disponemos de una fórmula para el error estándar de \(s\). Encuentra el error estándar bootstrap de \(s\).

  3. ¿Qué indica el error estándar sobre la precisión de la desviación estándar muestral como estimador de la desviación estándar poblacional?

  4. ¿Sería apropiado dar un intervalo \(t\) bootstrap para la desviación estándar poblacional? ¿Por qué sí o por qué no?

9.3 Ejercicio 3 (Hesterberg et al., 18.37)

Los datos de CLEC están fuertemente sesgados a la derecha. Los 23 tiempos de reparación de CLEC (en horas) son

26.62 8.60 0 21.15 8.33 20.28 96.32 17.97
3.42 0.07 24.38 19.88 14.33 5.45 5.40 2.68
0 24.20 22.13 18.57 20.00 14.13 5.80

  1. Realiza un histograma y un gráfico cuantílico Normal de los datos muestrales, y calcula la media muestral.

  2. Aplica bootstrap a la media de los datos. Representa la distribución bootstrap. ¿Es Normal? ¿Esperas que alguno de los intervalos de confianza sea inexacto? ¿Por qué sí o por qué no?

  3. Encuentra el error estándar bootstrap y utilízalo para construir un intervalo de confianza \(t\) del \(95%\).

  4. Encuentra los intervalos del \(95%\) percentil, BCa y de tilting.

  5. ¿Cómo se comparan los intervalos? Explica brevemente las razones de las posibles diferencias.

  6. Supón que utilizas estos datos y los intervalos de confianza para determinar los niveles de personal para el próximo año, de modo que estés seguro de que se ajustarán a la demanda. ¿Qué tipo de errores cometerías al usar un intervalo \(t\) o un intervalo percentil en lugar de un intervalo de tilting o BCa?

9.4 Ejercicio 4. (Hesterberg et al., 18.78)

Cambios en el desempleo urbano. A continuación se muestran las tasas de desempleo (porcentaje de la población activa) en julio de 2001 y 2002 para una muestra aleatoria de 19 de las 331 áreas metropolitanas para las cuales la Oficina de Estadísticas Laborales publica datos:

Area 2001 2002 Area 2001 2002
1 4.7 6.0 11 2.6 2.3
2 4.1 4.0 12 5.2 5.2
3 3.9 4.1 13 2.6 2.9
4 5.0 5.3 14 3.2 3.7
5 5.0 5.6 15 4.6 5.5
6 4.3 5.2 16 3.5 4.6
7 4.4 5.6 17 4.6 5.8
8 5.6 6.9 18 4.1 5.9
9 5.3 7.2 19 5.6 7.7
10 6.3 8.7

  1. Representa los datos para cada año y compara ambos gráficos.

  2. Realiza un test \(t\) apareado para la diferencia de medias y calcula el valor \(P\).

  3. Realiza un test de permutación para muestras apareadas y calcula el valor \(P\). Compara este resultado con el obtenido en el apartado (b).

9.5 Ejercicio 5

Importa los datos del conjunto Flight Delays en R. Aunque los datos corresponden a todos los vuelos de UA y AA realizados en mayo y junio de 2009, asumiremos que representan una muestra de una población mayor de vuelos de UA y AA realizados en circunstancias similares. Consideraremos el cociente de medias de las duraciones de los retrasos de vuelo, \(\mu_{UA} / \mu_{AA}\).

  1. Realiza un análisis exploratorio de los datos de las duraciones de los retrasos de vuelo para cada una de las aerolíneas UA y AA.

  2. Aplica bootstrap a la media de las duraciones de los retrasos de vuelo para cada aerolínea por separado y describe la distribución.

  3. Aplica bootstrap al cociente de medias. Proporciona gráficos de la distribución bootstrap y describe dicha distribución.

  4. Encuentra el error estándar bootstrap del cociente de medias. ¿Cómo podrías relacionarlo con el problema uno?

  5. Encuentra el intervalo percentil bootstrap del \(95%\) para el cociente de medias. Interpreta este intervalo.

  6. ¿Cuál es la estimación bootstrap del sesgo? ¿Qué fracción del error estándar bootstrap representa?

  1. Hesterberg, Tim & Monaghan, Shaun & Moore, David & Clipson, Ashley & Epstein, Rachel & Freeman, W & York, Company. (2005). Bootstrap Methods and Permutation Tests. Introduction to the Practice of Statistics. 14.↩︎