7 Contrastes de Hipótesis

7.1 Ejercicio 1.

Un investigador ha preparado un nivel de dosis de droga que según él, inducirá el sueño en \(80 \%\) de las personas que sufren de insomnio. Después de examinar la dosis, pensamos que lo dicho por él respecto a la efectividad de la dosis es exagerado. En un intento por refutar su dicho, administramos la dosis prescrita a 20 personas que padecen de insomnio y observamos \(Y\), el número de individuos a quienes la dosis induce el sueño. Deseamos probar la hipótesis \(H_{0}: p=.8\) contra la alternativa, \(H_{a}: p<.8\). Suponga que se usa la región de rechazo \(\{y \leq 12\}\).

  1. De acuerdo con la información de este problema, ¿qué es un error tipo I?
  2. Encuentre \(\alpha\).
  3. Con base en la información de este problema, ¿qué es un error tipo II?
  4. Encuentre \(\beta\) cuando \(p=.6\).
  5. Encuentre \(\beta\) cuando \(p=.4\).

7.1.1 SOLUCIÓN

7.1.2 a. ¿Qué es un error tipo I?

Un error tipo I ocurre cuando rechazamos la hipótesis nula \(H_0\) cuando esta es verdadera. En este caso, sería concluir que la proporción de individuos para los que la dosis induce el sueño es menor al 80% (\(p<0.8\)), cuando en realidad \(p=0.8\).

7.1.3 b. Encuentre \(\alpha\)

La probabilidad de cometer un error tipo I es \(\alpha\). En este caso, \(\alpha = P(Y \leq 12 \mid p = 0.8)\), donde \(Y\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n = 20\) y \(p = 0.8\).

Calculamos \(\alpha\):

# Parámetros
n <- 20
p0 <- 0.8
c <- 12

# Cálculo de alpha
alpha <- pbinom(c, size = n, prob = p0)
alpha
## [1] 0.03214266

Resultado:

\(\alpha = P(Y \leq 12 \mid p = 0.8) \approx \texttt{0.0321427}\)

7.1.4 c. ¿Qué es un error tipo II?

Un error tipo II ocurre cuando no rechazamos la hipótesis nula \(H_0\) cuando esta es falsa. En este caso, sería no rechazar que \(p = 0.8\) cuando en realidad \(p < 0.8\).

7.1.5 d. Encuentre \(\beta\) cuando \(p = 0.6\)

La probabilidad de cometer un error tipo II es \(\beta = P(Y > 12 \mid p = 0.6)\). Como \(Y\) sigue una distribución binomial con \(n = 20\) y \(p = 0.6\), calculamos:

# Parámetros para p = 0.6
p1 <- 0.6

# Cálculo de beta para p = 0.6
beta_06 <- 1 - pbinom(c, size = n, prob = p1)
beta_06
## [1] 0.4158929

Resultado:

\(\beta = P(Y > 12 \mid p = 0.6) \approx \texttt{0.4158929}\)

7.1.6 e. Encuentre \(\beta\) cuando \(p = 0.4\)

Repetimos el cálculo para \(p = 0.4\):

# Parámetros para p = 0.4
p2 <- 0.4

# Cálculo de beta para p = 0.4
beta_04 <- 1 - pbinom(c, size = n, prob = p2)
beta_04
## [1] 0.02102893

Resultado: \[\beta = P(Y > 12 \mid p = 0.4) \approx \texttt{0.0210289}\]

7.2 Ejercicio 2

Continuando con el ejercicio 1

  1. Defina la región de rechazo de la forma \(\{y \leq c\}\) de modo que \(\alpha \approx .01\).
  2. Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p=.6\).
  3. Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p=.4\).

7.2.1 SOLUCIÓN

7.2.2 a. Defina la región de rechazo de la forma \(\{y \leq c\}\) de modo que \(\alpha \approx 0.01\)

Queremos encontrar el valor crítico \(c\) tal que \(\alpha = P(Y \leq c \mid p = 0.8) \approx 0.01\). Para esto, usamos una búsqueda iterativa:

# Buscar el valor crítico c para alpha ≈ 0.01
c_new <- qbinom(0.01, size = n, prob = p0)
c_new
## [1] 12
alpha_new <- pbinom(c_new, size = n, prob = p0)
alpha_new
## [1] 0.03214266

Resultado:

El valor crítico es \(c = \texttt{12}\), con: \[\alpha = P(Y \leq 10 \mid p = 0.8) \approx \texttt{0.0321427}\]

7.2.3 b. Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p = 0.6\)

Calculamos \(\beta = P(Y > 10 \mid p = 0.6)\):

# Cálculo de beta para p = 0.6 con c = 10
beta_06_new <- 1 - pbinom(c_new, size = n, prob = p1)
beta_06_new
## [1] 0.4158929

Resultado: \[\beta = P(Y > 10 \mid p = 0.6) \approx \texttt{0.4158929}\]

7.2.4 c. Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p = 0.4\)

Repetimos el cálculo para \(p = 0.4\):

# Cálculo de beta para p = 0.4 con c = 10
beta_04_new <- 1 - pbinom(c_new, size = n, prob = p2)
beta_04_new
## [1] 0.02102893

Resultado: \[\beta = P(Y > 10 \mid p = 0.4) \approx \texttt{0.0210289}\]

7.3 Ejercicio 3.

Nos interesa probar si una moneda está o no balanceada, con base en el número de caras \(Y\) en 36 tiros de la moneda. ( \(H_{0}: p=.5\) contra \(H_{a}: p \neq .5\) ). Si usamos la región de rechazo \(|y-18| \geq 4\), \(¿\) cuál es

  1. el valor de \(\alpha\) ?
  2. el valor de \(\beta\) si \(p=.7\) ?

7.3.1 SOLUCIÓN

7.3.2 a. Valor de \(\alpha\)

La probabilidad de cometer un error tipo I, \(\alpha\), se calcula como:

\[\alpha = P(|Y - 18| \geq 4 \mid p = 0.5)\]

Esto equivale a:

\[\alpha = P(Y \leq 14 \mid p = 0.5) + P(Y \geq 22 \mid p = 0.5)\]

Dado que \(Y \sim \text{Binomial}(n = 36, p = 0.5)\), calculamos \(\alpha\) con R:

# Parámetros
n <- 36
p0 <- 0.5
c_lower <- 14
c_upper <- 22

# Cálculo de alpha
alpha <- pbinom(c_lower, size = n, prob = p0) + (1 - pbinom(c_upper - 1, size = n, prob = p0))
alpha
## [1] 0.242985

Por lo tanto, \[\alpha = P(|Y - 18| \geq 4 \mid p = 0.5) \approx \texttt{0.242985}\]

7.3.3 b. Valor de \(\beta\) si \(p = 0.7\)

La probabilidad de cometer un error tipo II, \(\beta\), se calcula como:

\[\beta = P(|Y - 18| < 4 \mid p = 0.7)\]

Esto equivale a:

\[\beta = P(15 \leq Y \leq 21 \mid p = 0.7)\]

Calculamos \(\beta\) con R:

# Parámetros para p = 0.7
p1 <- 0.7
beta <- pbinom(c_upper - 1, size = n, prob = p1) - pbinom(c_lower - 1, size = n, prob = p1)
beta
## [1] 0.09163513

Por lo tanto, \[\beta = P(|Y - 18| < 4 \mid p = 0.7) \approx \texttt{0.0916351}\]

7.4 Ejercicio 4.

Verdadero o falso Consulte el Ejercicio 3

  1. El nivel de la prueba calculado en el Ejercicio 3(a) es la probabilidad de que \(H_{0}\) sea verdadera.

  2. El valor de \(\beta\) calculado en el Ejercicio 3(b) es la probabilidad de que \(H_{a}\) sea verdadera.

  3. En el Ejercicio 3(b), \(\beta\) se calculó suponiendo que la hipótesis nula era falsa.

  4. Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=0.55\), el valor sería más grande que el valor de \(\beta\) obtenido en el Ejercicio 3(b).

  5. La probabilidad de que la prueba equivocadamente rechace \(H_{0}\) es \(\beta\).

  6. Suponga que la región de rechazo (RR) se cambió a \(|y-18| \geq 2\).

    1. Esta RR llevaría a rechazar la hipótesis nula con más frecuencia que la RR empleada en el Ejercicio 3
    2. Si \(\alpha\) se calculó usando esta nueva RR, el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(a)
    3. Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=.7\) y usando esta nueva RR , el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(b).

7.4.1 SOLUCIÓN

7.4.1.1 a. Verdadero o falso: El nivel de la prueba calculado en el Ejercicio 3(a) es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.

Falso. El nivel de la prueba \(\alpha\) es la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando esta es verdadera, no la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.

7.4.1.2 b. Verdadero o falso: El valor de \(\beta\) calculado en el Ejercicio 3(b) es la probabilidad de que \(H_a\) sea verdadera.

Falso. El valor de \(\beta\) es la probabilidad de no rechazar \(H_0\) cuando esta es falsa. No está relacionado con la probabilidad de que \(H_a\) sea verdadera.

7.4.1.3 c. Verdadero o falso: En el Ejercicio 3(b), \(\beta\) se calculó suponiendo que la hipótesis nula era falsa.

Verdadero. Por definición, \(\beta\) se calcula bajo la suposición de que \(H_0\) es falsa.

7.4.1.4 d. Verdadero o falso: Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=0.55\), el valor sería más grande que el valor de \(\beta\) obtenido en el Ejercicio 3(b).

Verdadero. Cuando \(p\) está más cerca de \(0.5\), la probabilidad de observar valores dentro de la región de aceptación es mayor, lo que incrementa \(\beta\).

7.4.1.5 e. Verdadero o falso: La probabilidad de que la prueba equivocadamente rechace \(H_0\) es \(\beta\).

Falso. La probabilidad de equivocadamente rechazar \(H_0\) es \(\alpha\), no \(\beta\).

7.4.1.6 f. Suponga que la región de rechazo (RR) se cambió a \(|y - 18| \geq 2\).

  1. Esta RR llevaría a rechazar la hipótesis nula con más frecuencia que la RR empleada en el Ejercicio 3. Verdadero. Esta nueva región de rechazo incluye más valores, por lo que \(H_0\) será rechazada con mayor frecuencia.

  2. Si \(\alpha\) se calculó usando esta nueva RR, el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(a) Verdadero. Como la nueva región de rechazo es más amplia, \(\alpha\) será mayor.

  3. Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=.7\) y usando esta nueva RR , el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(b). Falso. Si \(p = 0.7\), la nueva región de rechazo reducirá \(\beta\), ya que más valores caerán fuera de la región de aceptación.

7.5 Ejercicio 5.

Una prueba clínica en dos etapas está planeada para probar \(H_{0}: p=.10\) contra \(H_{a}: p>.10\), donde \(p\) es la proporción de pacientes que responden a un tratamiento y que fueron tratados según el protocolo. En la primera etapa, 15 pacientes se acumularon y trataron. Si 4 o más de los que responden se observan entre los (primeros) 15 pacientes, \(H_{0}\) es rechazada, el estudio se termina y no se acumulan más pacientes. De otro modo, otros 15 pacientes se acumularán y tratarán en la segunda etapa. Si un total de 6 o más de los que responden se observan entre los 30 pacientes acumulados en las dos etapas ( 15 en la primera etapa y 15 más en la segunda etapa), entonces \(H_{0}\) es rechazada. Por ejemplo, si 5 de los que responden se encuentran entre los pacientes de la primera etapa, \(H_{0}\) es rechazada y el estudio se termina. No obstante, si 2 de los que responden se encuentran entre los pacientes de la primera etapa, se acumulan 15 pacientes de la segunda etapa y se identifican otros 4 o más de los que responden (para un total de 6 o más entre \(\operatorname{los} 30\) ), \(H_{0}\) es rechazada y el estudio termina. \({ }^{1}\)

  1. Utilice la tabla binomial para hallar el valor numérico de \(\alpha\) para este procedimiento de prueba.
  2. Utilice la tabla binomial para determinar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando use esta región de rechazo si \(p=.30\).
  3. Para la región de rechazo definida líneas antes, encuentre \(\beta\) si \(p=.30\).