7 Contrastes de Hipótesis
7.1 Ejercicio 1.
Un investigador ha preparado un nivel de dosis de droga que según él, inducirá el sueño en \(80 \%\) de las personas que sufren de insomnio. Después de examinar la dosis, pensamos que lo dicho por él respecto a la efectividad de la dosis es exagerado. En un intento por refutar su dicho, administramos la dosis prescrita a 20 personas que padecen de insomnio y observamos \(Y\), el número de individuos a quienes la dosis induce el sueño. Deseamos probar la hipótesis \(H_{0}: p=.8\) contra la alternativa, \(H_{a}: p<.8\). Suponga que se usa la región de rechazo \(\{y \leq 12\}\).
- De acuerdo con la información de este problema, ¿qué es un error tipo I?
- Encuentre \(\alpha\).
- Con base en la información de este problema, ¿qué es un error tipo II?
- Encuentre \(\beta\) cuando \(p=.6\).
- Encuentre \(\beta\) cuando \(p=.4\).
7.2 Ejercicio 2
Continuando con el ejercicio 1
- Defina la región de rechazo de la forma \(\{y \leq c\}\) de modo que \(\alpha \approx .01\).
- Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p=.6\).
- Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p=.4\).
7.3 Ejercicio 3.
Nos interesa probar si una moneda está o no balanceada, con base en el número de caras \(Y\) en 36 tiros de la moneda. ( \(H_{0}: p=.5\) contra \(H_{a}: p \neq .5\) ). Si usamos la región de rechazo \(|y-18| \geq 4\), \(¿\) cuál es
- el valor de \(\alpha\) ?
- el valor de \(\beta\) si \(p=.7\) ?
7.4 Ejercicio 4.
Verdadero o falso Consulte el Ejercicio 3
El nivel de la prueba calculado en el Ejercicio 3(a) es la probabilidad de que \(H_{0}\) sea verdadera.
El valor de \(\beta\) calculado en el Ejercicio 3(b) es la probabilidad de que \(H_{a}\) sea verdadera.
En el Ejercicio 3(b), \(\beta\) se calculó suponiendo que la hipótesis nula era falsa.
Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=0.55\), el valor sería más grande que el valor de \(\beta\) obtenido en el Ejercicio 3(b).
La probabilidad de que la prueba equivocadamente rechace \(H_{0}\) es \(\beta\).
Suponga que la región de rechazo (RR) se cambió a \(|y-18| \geq 2\).
- Esta RR llevaría a rechazar la hipótesis nula con más frecuencia que la RR empleada en el Ejercicio 3
- Si \(\alpha\) se calculó usando esta nueva RR, el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(a)
- Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=.7\) y usando esta nueva RR , el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(b).
7.5 Ejercicio 5.
Una prueba clínica en dos etapas está planeada para probar \(H_{0}: p=.10\) contra \(H_{a}: p>.10\), donde \(p\) es la proporción de pacientes que responden a un tratamiento y que fueron tratados según el protocolo. En la primera etapa, 15 pacientes se acumularon y trataron. Si 4 o más de los que responden se observan entre los (primeros) 15 pacientes, \(H_{0}\) es rechazada, el estudio se termina y no se acumulan más pacientes. De otro modo, otros 15 pacientes se acumularán y tratarán en la segunda etapa. Si un total de 6 o más de los que responden se observan entre los 30 pacientes acumulados en las dos etapas ( 15 en la primera etapa y 15 más en la segunda etapa), entonces \(H_{0}\) es rechazada. Por ejemplo, si 5 de los que responden se encuentran entre los pacientes de la primera etapa, \(H_{0}\) es rechazada y el estudio se termina. No obstante, si 2 de los que responden se encuentran entre los pacientes de la primera etapa, se acumulan 15 pacientes de la segunda etapa y se identifican otros 4 o más de los que responden (para un total de 6 o más entre \(\operatorname{los} 30\) ), \(H_{0}\) es rechazada y el estudio termina. \({ }^{1}\)
- Utilice la tabla binomial para hallar el valor numérico de \(\alpha\) para este procedimiento de prueba.
- Utilice la tabla binomial para determinar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando use esta región de rechazo si \(p=.30\).
- Para la región de rechazo definida líneas antes, encuentre \(\beta\) si \(p=.30\).