7 Contrastes de Hipótesis

7.1 Ejercicio 1.

Un investigador ha preparado un nivel de dosis de droga que según él, inducirá el sueño en \(80 \%\) de las personas que sufren de insomnio. Después de examinar la dosis, pensamos que lo dicho por él respecto a la efectividad de la dosis es exagerado. En un intento por refutar su dicho, administramos la dosis prescrita a 20 personas que padecen de insomnio y observamos \(Y\), el número de individuos a quienes la dosis induce el sueño. Deseamos probar la hipótesis \(H_{0}: p=.8\) contra la alternativa, \(H_{a}: p<.8\). Suponga que se usa la región de rechazo \(\{y \leq 12\}\).

  1. De acuerdo con la información de este problema, ¿qué es un error tipo I?
  2. Encuentre \(\alpha\).
  3. Con base en la información de este problema, ¿qué es un error tipo II?
  4. Encuentre \(\beta\) cuando \(p=.6\).
  5. Encuentre \(\beta\) cuando \(p=.4\).

7.2 Ejercicio 2

Continuando con el ejercicio 1

  1. Defina la región de rechazo de la forma \(\{y \leq c\}\) de modo que \(\alpha \approx .01\).
  2. Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p=.6\).
  3. Para la región de rechazo del inciso a, encuentre \(\beta\) cuando \(p=.4\).

7.3 Ejercicio 3.

Nos interesa probar si una moneda está o no balanceada, con base en el número de caras \(Y\) en 36 tiros de la moneda. ( \(H_{0}: p=.5\) contra \(H_{a}: p \neq .5\) ). Si usamos la región de rechazo \(|y-18| \geq 4\), \(¿\) cuál es

  1. el valor de \(\alpha\) ?
  2. el valor de \(\beta\) si \(p=.7\) ?

7.4 Ejercicio 4.

Verdadero o falso Consulte el Ejercicio 3

  1. El nivel de la prueba calculado en el Ejercicio 3(a) es la probabilidad de que \(H_{0}\) sea verdadera.

  2. El valor de \(\beta\) calculado en el Ejercicio 3(b) es la probabilidad de que \(H_{a}\) sea verdadera.

  3. En el Ejercicio 3(b), \(\beta\) se calculó suponiendo que la hipótesis nula era falsa.

  4. Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=0.55\), el valor sería más grande que el valor de \(\beta\) obtenido en el Ejercicio 3(b).

  5. La probabilidad de que la prueba equivocadamente rechace \(H_{0}\) es \(\beta\).

  6. Suponga que la región de rechazo (RR) se cambió a \(|y-18| \geq 2\).

    1. Esta RR llevaría a rechazar la hipótesis nula con más frecuencia que la RR empleada en el Ejercicio 3
    2. Si \(\alpha\) se calculó usando esta nueva RR, el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(a)
    3. Si \(\beta\) se calculó cuando \(p=.7\) y usando esta nueva RR , el valor sería más grande que el valor obtenido en el Ejercicio 3(b).

7.5 Ejercicio 5.

Una prueba clínica en dos etapas está planeada para probar \(H_{0}: p=.10\) contra \(H_{a}: p>.10\), donde \(p\) es la proporción de pacientes que responden a un tratamiento y que fueron tratados según el protocolo. En la primera etapa, 15 pacientes se acumularon y trataron. Si 4 o más de los que responden se observan entre los (primeros) 15 pacientes, \(H_{0}\) es rechazada, el estudio se termina y no se acumulan más pacientes. De otro modo, otros 15 pacientes se acumularán y tratarán en la segunda etapa. Si un total de 6 o más de los que responden se observan entre los 30 pacientes acumulados en las dos etapas ( 15 en la primera etapa y 15 más en la segunda etapa), entonces \(H_{0}\) es rechazada. Por ejemplo, si 5 de los que responden se encuentran entre los pacientes de la primera etapa, \(H_{0}\) es rechazada y el estudio se termina. No obstante, si 2 de los que responden se encuentran entre los pacientes de la primera etapa, se acumulan 15 pacientes de la segunda etapa y se identifican otros 4 o más de los que responden (para un total de 6 o más entre \(\operatorname{los} 30\) ), \(H_{0}\) es rechazada y el estudio termina. \({ }^{1}\)

  1. Utilice la tabla binomial para hallar el valor numérico de \(\alpha\) para este procedimiento de prueba.
  2. Utilice la tabla binomial para determinar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando use esta región de rechazo si \(p=.30\).
  3. Para la región de rechazo definida líneas antes, encuentre \(\beta\) si \(p=.30\).